你说的这三个地方全都是只有普通火车没有动车和高铁，而且全程要转车多次，只坐火车估计至少要半个月才能走完。
首先是从北京出发到沈阳，从沈阳转车去长白山。如果是想去长白山西坡，在松江河站下车；如果是想去长白山北坡，在白河站下车。然后还是要从松江河或白河坐火车回沈阳，从沈阳转火车到北安，去五大连池游玩（注：五大连池火车站在五大连池市郊区，反倒不如从北安火车站去五大连池更方便）。然后回北安，从北安坐火车到一个叫做“富裕”的小县，从富裕县转火车去漠河。返程从漠河坐火车到哈尔滨，从哈尔滨转车回北京。
以上供参考。

北京乘坐火车到敦化，然后从敦化坐汽车到二道白河。从二道白河打车或者拼车到长白山北坡。再拼车到西坡。
返回到敦化，乘坐高铁到长春，乘坐汽车到五大连池。
五大连池有汽车到哈尔滨，4个多小时。
哈尔滨有晚上发的火车到漠河。漠河只能拼车包车游。